冬至是北半球一年中白昼最短、黑夜最长的一天，这是因为地球围绕太阳公转的轨道是椭圆形的，地球的轴倾斜大约23.5度。在冬至这一天，太阳直射点位于南回归线，对于北半球来说，太阳高度角达到一年中的最低点。
要解这个方程，我们需要考虑地球的轴倾斜和太阳直射点的移动。以下是一个简化的方程，用来表示冬至时太阳高度角与地球轴倾斜的关系：
设 \( H \) 为太阳高度角，\( \theta \) 为地球轴倾斜角度（约23.5度），\( \alpha \) 为太阳直射点的纬度（在冬至时为南回归线，即约23.5度南纬），\( \beta \) 为观测点的纬度。
在冬至时，太阳高度角 \( H \) 可以用以下方程表示：
\[ H = \sin(\theta) \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) + \cos(\theta) \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \]
由于在冬至时太阳直射点位于南回归线，即 \( \alpha = -23.5^\circ \)（南纬），我们可以将方程简化为：
\[ H = \sin(23.5^\circ) \cdot \sin(\beta) + \cos(23.5^\circ) \cdot \cos(\beta) \]
在观测点纬度 \( \beta \) 处，当 \( H \) 最小时，即 \( \beta \) 等于 \( \alpha \) 的相反数时，白昼时间最短。因此，冬至时观测点的纬度 \( \beta \) 为：
\[ \beta = -\alpha = 23.5^\circ \]
这意味着，在北半球，所有纬度在23.5度以北的地区，冬至时白昼时间最短，黑夜最长。对于赤道地区（纬度为0度），由于太阳直射赤道，白昼和黑夜几乎等长。
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