### 关于函数的思维导图
**中心主题：函数**
**分支 1：函数的定义**
- 定义域：函数可以接受的所有输入值的集合
- 值域：函数输出值的集合
- 映射法则：定义域中的每个元素如何映射到值域中的元素
**分支 2：函数的类型**
- 线性函数：y = mx + b
- 多项式函数：y = ax^n + ... + c
- 指数函数：y = a^x
- 对数函数：y = log_a(x)
- 三角函数：正弦、余弦、正切等
- 反三角函数：反正弦、反余弦、反正切等
**分支 3：函数的性质**
- 单调性：函数在其定义域内是递增或递减的
- 奇偶性：函数关于y轴对称（偶函数）或原点对称（奇函数）
- 周期性：函数值在特定间隔后重复
- 连续性：函数图像上没有间断点
**分支 4：函数的图像**
- 如何绘制函数图像
- 图像的几何意义
- 图像的变换（平移、缩放、反射）
**分支 5：函数的应用**
- 科学和工程中的函数模型
- 经济学中的需求函数和供给函数
- 统计学中的概率分布函数
### 关于函数的典型例题
**例题 1：求函数的值域**
- 已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，求其值域。
**解答：**
- 这是一个二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。
- 顶点公式为 x = -b/(2a)，这里 a = 1, b = -4，所以顶点 x = 2。
- 将 x = 2 代入函数得到最小值 f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
- 因此，值域为 [−1, ∞)。
**例题 2：判断函数的奇偶性**
- 已知函数 f(x) = x^3 - 3x，判断其奇偶性。
**解答：**
- 一个函数是奇函数，如果 f(−x) = −f(x)。
- 计算 f(−x) = (−x)^3 - 3(−x) = −x^3 + 3x。
- 比较 f(−x) 和 −f(x)，发现 f(−x) = −f(x)。
- 因此，f(x) 是一个奇函数。
**例题 3：求函数的导数**
- 已知函数 f(x) = e^x * sin(x)，求其导数 f'(x)。
**解答：**
- 使用乘积法则，f'(x) = (e^x)' * sin(x) + e^x * (sin(x))'。
- (e^x)' = e^x，(sin(x))' = cos(x)。
- 所以 f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)。
- 因此，f'(x) = e^x * (sin(x) + cos(x))。
这些例题涵盖了函数的基本概念和性质，以及如何应用这些知识来解决实际问题。
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